設(shè)Tn=(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
16
)…(1-
1
n2
)(n≥2)．
（Ⅰ）求T2，T3，T4，試用n（n≥2）表示Tn的值．
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．
分析：（Ⅰ）代入計算，可得T2，T3，T4，從而猜想Tn的值．
（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：T2=1-
1
4
=
3
4
，T3=(1-
1
4
)(1-
1
9
)=
4
6
，T4=(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
16
)=
5
8
，…6分
猜想Tn=
n+1
2n
…8分
（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)n=2時由（Ⅰ）可知成立   …10分
（2）假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即Tk=(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
16
)…(1-
1
k2
)=
k+1
2k
，
那么，當(dāng)n=k+1時，Tk+1=Tk(1-
1
(k+1)2
)=
k+1
2k
•
k2+k
(k+1)2
=
(k+1)+1
2(k+1)
，…14分
所以當(dāng)n=k+1時，命題也成立．
根據(jù)（1）（2）可知結(jié)論當(dāng)n≥2，n∈N•時都成立．  …16分．
點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題軛能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，若Sn=
1
4
（an+1）2．
①求{an}的通項公式；
②設(shè)m，k，p∈N*，m+p=2k，求證：
1
Sm
+
1
Sp
≥
2
Sk

（2）若{an}是等差數(shù)列，前n項和為Tn，求證：對任意n∈N*，Tn，Tn+1，Tn+2不能構(gòu)成等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項均不相同的等差數(shù)列{an}的前四項和Sn=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列{
1an•an+1
}的前n項和，求T2012的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，它的前n項和Sn滿足Sn=
1
6
(an+1) (an+2)，并且a2，a4，a9成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=
1
(an-n+3)2
，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Tn＜
1
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)Tn=(1-
1
4
)(1-
1
9
)(1-
1
1五
)…(1-
1
n2
)(n≥2)．
（Ⅰ）求T2，T3，T4，試用n（n≥2）表示Tn的值．
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

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