Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax+a，其中a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并寫出對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)b∈R，若函數(shù)f（x）≥b對任意x∈R都成立，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)f（x），得f′（x），然后結(jié)合f′（x）與0的關(guān)系對a的正負(fù)進(jìn)行討論即可；
（2）對a的正負(fù)進(jìn)行討論：當(dāng)a＜0時，f（x）≥b不可能恒成立；當(dāng)a=0時，此時ab=0； 當(dāng)a＞0時，由題結(jié)合（1）得ab≤2a²-a²lna，設(shè)g（a）=2a²-a²lna（a＞0），問題轉(zhuǎn)化為求g（a）的最大值，利用導(dǎo)函數(shù)即可．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=e^x-ax+a，可知f′（x）=e^x-a，
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
故當(dāng)x∈（-∞，lna）時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna），單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞）；
（2）由（1）知，當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增且當(dāng)x→-∞時，f（x）→-∞，∴f（x）≥b不可能恒成立；
當(dāng)a=0時，此時ab=0；
當(dāng)a＞0時，由函數(shù)f（x）≥b對任意x∈R都成立，可得b≤f_min（x），
∵f_min（x）=2a-alna，∴b≤2a-alna，∴ab≤2a²-a²lna，
設(shè)g（a）=2a²-a²lna （a＞0），則g′（a）=4a-（2alna+a）=3a-2alna，
由于a＞0，令g′（a）=0，得$lna=\frac{3}{2}$，故$a={e}^{\frac{3}{2}}$，
當(dāng)$a∈（0，{e}^{\frac{3}{2}}）$時，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增；
當(dāng)$a∈（{e}^{\frac{3}{2}}，+∞）$時，g′（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減．
所以${g}_{max}（a）=\frac{{e}^{3}}{2}$，即當(dāng)$a={e}^{\frac{3}{2}}$，$b=\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{2}}$時，ab的最大值為$\frac{{e}^{3}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．