Question

已知函數(shù)f（x）滿足（其中為f（x）在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，C為常數(shù)）。
（1）求的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）-x³]·e^x，若函數(shù)g（x）在[-3，2]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)C的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由f（x）=x³+f'
得f'（x）=3x²+2f'
取，得f'
解得f'。
（2）因?yàn)閒（x）=x³-x²-x+C
從而f'（x）=3x²-2x-1=，列表如下：

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和（1，+∞）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是。
（3）函數(shù)g（x）=[f（x）-x³]·e^x=（-x²-x+C）·e^x，
有g(shù)'（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+C）e^x
=（-x²-3x+C-1）e^x，
當(dāng)函數(shù)在區(qū)間x∈[-3，2]上為單調(diào)遞增時(shí)，
等價(jià)于h（x）=-x²-3x+C-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，只要h（2）≥0，解得C≥11，
當(dāng)函數(shù)在區(qū)間x∈[-3，2]上為單調(diào)遞減時(shí)，等價(jià)于h（x）=-x²-3x+C-1≤0在x∈[-3，2]上恒成立，
即Δ=9+4（C-1）≤0，解得
所以C的取值范圍是C≥11或。