Question

為深入貫徹素質(zhì)教育，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某中學(xué)從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中分別選了甲、乙、丙三支足球隊(duì)舉辦一場(chǎng)足球賽．足球賽具體規(guī)則為：甲、乙、丙三支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽（即每?jī)蓚�(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)）．共賽三場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝者積3分，負(fù)者積0分，沒有平局．在每一場(chǎng)比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為．
（Ⅰ）求甲隊(duì)獲得第一名且丙隊(duì)獲得第二名的概率；
（Ⅱ）設(shè)在該次比賽中，甲隊(duì)積分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等可能事件的概率，及離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望．
（1）甲隊(duì)獲得第一名且丙隊(duì)獲得第二名，需要滿足甲勝乙，甲勝丙，丙勝乙，則P（A）=××，計(jì)算后即可得到甲隊(duì)獲得第一名且丙隊(duì)獲得第二名的概率；
（2）由題意可知ξ可能取值為0、3、6，分類討論并計(jì)算：則甲兩場(chǎng)皆輸：P（ξ=0）=；甲兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)：P（ξ=3）=×+×；甲兩場(chǎng)皆勝：P（ξ=6）=，我們易得到ξ的分布列，進(jìn)而得到其數(shù)學(xué)期望．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)甲隊(duì)獲第一且丙隊(duì)獲第二為事件A，則P（A）=××=（3分）
（Ⅱ）ξ可能取值為0、3、6，（4分）
則甲兩場(chǎng)皆輸：P（ξ=0）==（5分）
甲兩場(chǎng)只勝一場(chǎng)：P（ξ=3）=×+×=（6分）
甲兩場(chǎng)皆勝：P（ξ=6）==．（8分）
∴ξ的分布列為：
（10分）
Eξ=0×+3×+6×=（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，要想計(jì)算一個(gè)事件的概率，首先我們要分析這個(gè)事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進(jìn)行求解．