Question

9．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點 A（0，-l），且離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若橢圓M上存在點B，C關(guān)于直線y=kx-1對稱，求k的所有取值構(gòu)成的集合S，并證明對于?k∈S，BC的中點恒定在一條定直線上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（0，-1），且離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合b²=a²-c²，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），y₁≠y₂BC的中點（x₀，y₀），直線y=kx-1且k≠0，恒過（0，-1），|AB|=|AC|，點B，C在橢圓上，化簡可得y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{1}{3}$．BC的中點在y=kx-1上，解得x₀=$\frac{4}{3k}$，利用$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.$，可得x=$±\frac{4\sqrt{2}}{3}$，推出k的不等式，得到結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由已知e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即c²=$\frac{3}{4}$a²，b²=a²-c²=$\frac{1}{4}$a²，
$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點 A（0，-l），∴a=2，b=1，∴a²=4，∴b²=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）橢圓M上存在點B，C關(guān)于直線y=kx-1對稱，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），y₁≠y₂
BC的中點（x₀，y₀），直線y=kx-1且k≠0，恒過（0，-1），|AB|=|AC|，
則x₁²+（y₁+1）²=x₂²+（y₂+1）²，
點B，C在橢圓上，
∴x₁²=4-4y₁²，x₂²=4-4y₂²，∴4-4y₁²+（y₁+1）²=4-4y₂²+（y₂+1）²，
化簡可得：3y₁²-3y₂²=2（y₁-y₂）．∴y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{1}{3}$．
又因為BC的中點在y=kx-1上，所以y₀=kx₀-1，x₀=$\frac{4}{3k}$由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.$，可得x=$±\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴$0＜\frac{4}{3k}＜\frac{4\sqrt{2}}{3}$，或$-\frac{4\sqrt{2}}{3}＜\frac{4}{3k}＜0$，即k$＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k的所有取值構(gòu)成的集合S={k|k$＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{2}}{2}$}．
所以對于?k∈S，BC的中點恒定在一條定直線y=$\frac{1}{3}$上．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，對稱知識的應(yīng)用，存在性 問題的處理方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及分析問題解決問題的能力．