Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2|x|-1 （-3≤x≤3），
（1）證明f（x）是偶函數(shù)；
（2）畫出這個函數(shù)的圖象；
（3）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)；
（4）求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）由-3≤x≤3得到函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，求出f（-x）化簡得到與f（x）相等得證；
（2）討論x的取值分別得到f（x）的解析式，畫出函數(shù)圖象即可；
（3）在函數(shù)圖象上得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分別指出增減函數(shù)區(qū)間即可；
（4）分區(qū)間[-3，0）和（0，3]上分別利用二次函數(shù)求最值的方法得到函數(shù)的最值即可得到函數(shù)的值域．

解答：解：：（1）證明∵x∈[-3，3]，
∴f（x）的定義域關(guān)于原點對稱．
f（-x）=（-x）²-2|-x|-1
=x²-2|x|-1=f（x），
即f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．

（2）當x≥0時，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
當x＜0時，f（x）=x²+2x-1=（x+1）²-2，
即f（x）=

(x-1)2=2      (0≤x≤3) (x+1)2-2      (-3≤x≤0)

根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖．

（3）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為[-3，-1），[-1，0），[0，1），[1，3]．
f（x）在區(qū)間[-3，-1）和[0，1）上為減函數(shù)，在[-1，0），[1，3]上為增函數(shù)．
（4）當x≥0時，函數(shù)f（x）=（x-1）²-2的最小值為-2，最大值為f（3）=2；
當x＜0時，函數(shù)f（x）=（x+1）²-2的最小值為-2，最大值為f（-3）=2．故函數(shù)f（x）的值域為[-2，2]．

點評：考查學(xué)生會利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決實際問題，會證明函數(shù)的奇偶性，會根據(jù)圖象得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會求函數(shù)的值域．