Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC，PC的中點(diǎn)，AB=2，AP=2．
（I）求證：AE⊥PD；
（II）求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明△ABC為正三角形，可得AE⊥BC，根據(jù)BC∥AD，可得AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，進(jìn)而可得答案．
（II）建立坐標(biāo)系，利用題中的已知條件分別求出兩個(gè)平面的法向量，借助于向量的有關(guān)運(yùn)算計(jì)算出向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為棱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，設(shè)AB=BC=CD=DA=2，所以AE=，
∵PA=2，
∴A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（，，1），
∴=（，0，0），=（，，1）．
設(shè)平面AEF的一法向量為=（x₁，y₁，z₁），
則，因此，取z₁=-1，
則=（0，2，-1），
因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故為平面AFC的一法向量．
又=（-，3，0），所以cos＜，＞===．
因?yàn)槎�面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便利用已知條件得到空間的線面關(guān)系，并且便于建立坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)運(yùn)算解決空間角等問(wèn)題．