Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）證明：AC₁⊥BD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理證明：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，先證明BD⊥平面ACC₁，然后證明AC₁⊥BD．

解答：解：（ I）證明：連接AC交BD于O，連接OE，
∵ABCD是正方形，
∴O為AC的中點(diǎn)，
∵E是棱CC₁的中點(diǎn)，
∴AC₁∥OE．
又∵AC₁?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE．
（ II）證明：
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
∵CC₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴CC₁⊥BD．
又∵CC₁∩AC=C，
∴BD⊥平面ACC₁．
又∵AC₁?平面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．