Question

17．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2mx+m-4，m為常數(shù)．
（I）若m=1，求f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集為（-∞，-1]∪[3，+∞），求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅲ）若方程f（x）=0的一個(gè)根小于0，另一個(gè)根大于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圈．

Answer 1

分析 （I）若m=1，則函數(shù)f（x）=x²-2x-3的圖象是開(kāi)口朝上，且以x=1為對(duì)稱軸的拋物線，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最值，可得f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集為（-∞，-1]∪[3，+∞），則-1，3為方程x²-2mx+m-4=0的兩根，由韋達(dá)定理，可得實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅲ）若方程f（x）=0的一個(gè)根小于0，另一個(gè)根大于2，則$\left\{\begin{array}{l}f（0）＜0\\ f（2）＜0\end{array}\right.$，解得實(shí)數(shù)m的取值范圈．

解答 解：（I）若m=1，則函數(shù)f（x）=x²-2x-3的圖象是開(kāi)口朝上，且以x=1為對(duì)稱軸的拋物線，
區(qū)間[0，3]上，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值-4；當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取最大值0，
故f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)閇-4，0]；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集為（-∞，-1]∪[3，+∞），
則-1，3為方程x²-2mx+m-4=0的兩根，
故-1+3=2m，-1×3=m-4，
解得：m=1；
（Ⅲ）若方程f（x）=0的一個(gè)根小于0，另一個(gè)根大于2，
則$\left\{\begin{array}{l}f（0）＜0\\ f（2）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}m-4＜0\\-3m＜0\end{array}\right.$，
解得：m∈（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．