Question

設(shè)集合A={a，a²，b²-1}，B={0，|a|，b}，且A=B．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f(x)=-bx-

a

x

的單調(diào)遞增區(qū)間，并證明．

Answer 1

分析：（1）觀察集合關(guān)系，由于兩集合相等，發(fā)現(xiàn)其對(duì)應(yīng)特征，建立方程求出a，b的值
（2）將a，b的值代入，先判斷單調(diào)性，再用定義法證明即可．

解答：解：（1）兩集合相等，觀察發(fā)現(xiàn)a不能為O，故只有b²-1=0，得b=-1，或b=1
當(dāng)b=-1時(shí)，故b與a對(duì)應(yīng)，所以a=-1，
如果b=1則必有|a|=1，B不成立；
故a=-1，b=-1…4分
（2）由（1）得f(x)= x+

1

x

，因?yàn)閤∈R時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)= x+

1

x

≥2，x=1時(shí)取得最小值，
函數(shù)f(x)= x+

1

x

的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1]，[1，+∞）；函數(shù)是奇函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間為：（-1，0），（0，1）．
①在[1，+∞）是增函數(shù)
任取x₁，x₂∈[1，+∞）令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，又x₁x₂＞1，故1-

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
故f(x)= x+

1

x

，在[1，+∞）是增函數(shù)．
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)= x+

1

x

是奇函數(shù)，所以（-∞，-1]也是增函數(shù)；…8分
②函數(shù)在x∈（0，1）時(shí)，
任取x₁，x₂∈（0，1），令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，又1＞x₁x₂＞0，故1-

1

x1x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
故f(x)= x+

1

x

，在（0，1）是減函數(shù)．
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)= x+

1

x

是奇函數(shù)，所以（-1，0）也是減函數(shù)．
綜上函數(shù)f(x)= x+

1

x

的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1]，[1，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為：（-1，0），（0，1）．…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合相等的概念以及函數(shù)單調(diào)性的證明方法--定義法，解答第二小問時(shí)要注意步驟，先判斷再證明，注意分類討論思想的應(yīng)用．