Question

15．已知f（x）=$\frac{x}{x^2+x+1}$對(duì)x₁，x₂∈R，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 分x=0與x≠0討論，從而借助基本不等式確定函數(shù)的最大值及最小值，從而證明即可．

解答 證明：當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；
當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）=$\frac{x}{x^2+x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}$；
則由基本不等式可知，
x+$\frac{1}{x}$+1≥3或x+$\frac{1}{x}$+1≤-1；
故f_max（x）=$\frac{1}{3}$，f_min（x）=-1，
故對(duì)x₁，x₂∈R，
|f（x₁）-f（x₂）|
≤f_max（x）-f_min（x）=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，基本不等式在求最值中的應(yīng)用等，屬于中檔題．