Question

如圖所示，四面體ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．

（1）求證：AD⊥BC；

（2）求二面角B—AC—D的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）構(gòu)造向量證明（2）

【解析】

試題分析：（1）證明　作AH⊥平面BCD于H，連接BH、CH、DH，

易知四邊形BHCD是正方形，且AH＝1，以D為原

點(diǎn)，以DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，

以垂直于DB，的直線為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，如圖所示，則B(2,0,0)，C(0,2,0)，A(2,2,1)，   

所以＝，＝，  

因此·＝，所以AD⊥BC.       

（2）解：設(shè)平面ABC的法向量為n₁＝(x，y，z)，則由n₁⊥知：n₁·＝

同理由n₁⊥知：n₁·＝，

可取n₁＝，

同理，可求得平面ACD的一個(gè)法向量為       

∴〈n₁，n₂〉＝＝

即二面角B—AC—D的余弦值為   

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角直線與直線垂直的判定

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定方法，正確運(yùn)用向量法解決面面角問題．