Question

如圖，AB為平面直角坐標系xOy中單位圓O的直徑，點D在第二象限內(nèi)的圓弧上運動，CD與圓O相切，切點為D，且CD=AB．設∠DAB=θ，問當θ取何值時，四邊形ABCD的面積最大？并求出這個最大值．

Answer 1

分析：把四邊形ABCD的面積分為兩部分：△BCD面積與Rt△ABD的面積，分別計算它們的面積，再利用輔助角公式化簡即可求得．

解答：解：連接BD，
∵AB為平面直角坐標系xOy中單位圓O的直徑，點D在第二象限內(nèi)的圓弧上運動
∴AD=2cosθ，BD=2sinθ（其中

π

4

＜θ＜

π

2

）．…（2分）
在△BCD中，由弦切角定理得∠BDC=θ，又DC=AB=2，
∴△BCD面積為2sin²θ； …（4分）
又Rt△ABD的面積為2sinθ•cosθ．…（5分）
∴四邊形ABCD的面積為S=2sinθ•cosθ+2sin²θ．…（6分）
因為S=sin2θ+（1-cos2θ） …（8分）
=

2

sin（2θ-

π

4

）+1 …（10分）
∴2θ-

π

4

=

π

2

，四邊形ABCD面積取得最大值
所以當θ=

3π

8

時，四邊形ABCD面積取得最大值

2

+1．…（12分）

點評：本題以實際問題為載體，考查三角函數(shù)模型的構建，考查輔助角公式的運用，正確運用三角函數(shù)式解題的關鍵．