Question

已知曲線y=x³+x+1
（1）求曲線在點(diǎn)P（1，3）處的切線方程．
（2）求曲線過(guò)點(diǎn)P（1，3）的切線方程．

Answer 1

分析：（1）要求曲線f（x）=x³-3x在點(diǎn)P（1，-2）處的切線方程，先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得到切線方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)R，然后根據(jù)曲線y=f（x）在點(diǎn)R處切線的斜率列出方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出切線方程．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+1，
則切線的斜率為f'（1）=3×1²+1=4，
由直線的點(diǎn)斜式方程得，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y-3=4（x-1），即4x-y-1=0，
所以曲線在點(diǎn)P處的切線方程為4x-y-1=0；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，3）的切線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)R（x0

，x

3 0

+x0+1），
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)R處切線斜率為f′(x0)=3

x

2 0

+1，
由斜率公式可得，

x 3 0 +x0+1-3

x0-1

=3

x

2 0

+1，
解得，x₀=1或x₀=-

1

2

，
故切點(diǎn)R分別為（1，3）和（-

1

2

，

3

8

），
由直線的點(diǎn)斜式方程可得，過(guò)點(diǎn)Q的切線方程為y-3=4（x-1）或y-

3

8

=

7

4

（x--

1

2

），
所以過(guò)點(diǎn)Q的切線方程有兩條：4x-y-1=0和7x-4y=5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想，解曲線的切線問(wèn)題要特別注意是“在”還是“過(guò)”點(diǎn)．屬于中檔題．