Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

，若不等式a（x²+y²）≥（x+y）²對(duì)于滿(mǎn)足上述條件的實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　　）

• A．

  7

  5

• B．

  9

  5

• C．2
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：確定約束條件的平面區(qū)域，求得與原點(diǎn)連線的斜率的范圍，再分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

，可行域是一個(gè)三角形，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為（1，4），（2，4），（

5

3

，

10

3

），與原點(diǎn)連線的斜率分別為4，2，∴

y

x

∈[2，4]
不等式a（x²+y²）≥（x+y）²等價(jià)于a≥1+

2

y x + x y

∵

y

x

+

x

y

在[2，4]上單調(diào)增
∴

5

2

≤

y

x

+

x

y

≤

17

4

∴

8

17

≤

2

y x + x y

≤

4

5

∴a≥

9

5

故選B．

點(diǎn)評(píng)：平面區(qū)域的最值問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題中一類(lèi)重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫(huà)出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．