【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若,均有,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 增區(qū)間是,減區(qū)間是,函數(shù)有極小值為 ;(2) .
【解析】試題分析:I)先求函數(shù)的導函數(shù)f′(x),再解不等式f′(x)>0,得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,解不等式f′(x)<0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,最后由極值定義求得函數(shù)極值
(II)構造新函數(shù),將恒成立問題轉化為求新函數(shù)的最大值問題,利用導數(shù)先求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再確定其最大值,最后解不等式求得實數(shù)a的取值范圍
試題解析:
由題意, ,
(Ⅰ)由得,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是;
由得,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是
∴當時,函數(shù)有極小值為
(Ⅱ)法一,由于,均有,
即, 恒成立,
∴, ,
由(Ⅰ),函數(shù)極小值即為最小值,
∴,解得.
法二,因為,所以不等式等價于,即
設,則,
而,
顯然當時, ,函數(shù)單調(diào)遞增;
當時, ,函數(shù)單調(diào)遞減,
所以函數(shù)的最大值為,
由不等式恒成立可得,解得.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在點處得切線方程與直線垂直,求的值;
(Ⅱ)若在上為單調(diào)遞減函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅲ)設,求證: .
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【題目】已知橢圓的離心率,右焦點,過點的直線交橢圓于兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點關于軸的對稱點為 ,求證: 三點共線;
(3) 當面積最大時,求直線的方程.
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【題目】班主任為了對本班學生的考試成績進行分析,決定從全班位女同學, 位男同學中隨機
抽取一個容量為的樣本進行分析.
(Ⅰ)如果按性別比例分層抽樣,求樣本中男生、女生人數(shù)分別是多少;
(Ⅱ)隨機抽取位同學,數(shù)學成績由低到高依次為: ;物理成績由低到高依次為: ,若規(guī)定分(含分)以上為優(yōu)秀,記為這位同學中數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】2016年入冬以來,各地霧霾天氣頻發(fā), 頻頻爆表(是指直徑小于或等于2.5微米的顆粒物),各地對機動車更是出臺了各類限行措施,為分析研究車流量與的濃度是否相關,某市現(xiàn)采集周一到周五某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如下表:
時間 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
車流量(萬輛) | 50 | 51 | 54 | 57 | 58 |
的濃度(微克/立方米) | 69 | 70 | 74 | 78 | 79 |
(1)請根據(jù)上述數(shù)據(jù),在下面給出的坐標系中畫出散點圖;
(2)試判斷與是否具有線性關系,若有請求出關于的線性回歸方程,若沒有,請說明理由;
(3)若周六同一時間段的車流量為60萬輛,試根據(jù)(2)得出的結論,預報該時間段的的濃度(保留整數(shù)).
參考公式: , .
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【題目】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了該農(nóng)產(chǎn)品.以()表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量, (單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.
(Ⅰ)將表示為的函數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計利潤不少于57000元的概率.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),在以為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點的圓.已知曲線上的點對應的參數(shù),射線與曲線交于點.
(Ⅰ)求曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)若點, 在曲線上,求的值.
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