(2012•浙江)定義:曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離,已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離,則實數(shù)a=
9
4
9
4
分析:先根據(jù)定義求出曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離,然后根據(jù)曲線C1:y=x2+a的切線與直線y=x平行時,該切點到直線的距離最近建立等式關(guān)系,解之即可.
解答:解:圓x2+(y+4)2=2的圓心為(0,-4),半徑為
2

圓心到直線y=x的距離為
4
2
=2
2

∴曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離為2
2
-
2
=
2

則曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于
2

令y′=2x=1解得x=
1
2
,故切點為(
1
2
,
1
4
+a)
切線方程為y-(
1
4
+a)=x-
1
2
即x-y-
1
4
+a=0
由題意可知x-y-
1
4
+a=0與直線y=x的距離為
2

|a-
1
4
|
2
=
2
解得a=
9
4
或-
7
4

當(dāng)a=-
7
4
時直線y=x與曲線C1:y=x2+a相交,故不符合題意,舍去
故答案為:
9
4
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,以及點到直線的距離的計算,同時考查了分析求解的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•浙江模擬)己知拋物線C:x2=2py(p>0)上一點T(m,4)到其焦點的距離為
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4

(I)求p與m的值;
(II)如圖,過點M(0,1)作兩條直線l1,l2,ll與拋物線交于點A,B,l2與拋物線交于點E,F(xiàn),且直線AE,BF交于點P,直線AF,BE交于點Q,求證:
MP
MQ
是定值.

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