Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且滿足，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）
（1）求證：是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）記數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，T_n=b₁+b₂+…+b_n若（m∈z）恒成立，求m的最小值．

Answer 1

解：（1）證明：∵，a_n+2S_nS_n-1=0 （n≥2），故 S_n-S_n-1 +2S_nS_n-1=0，∴-=2，
故是以2為公差、以2為首項(xiàng)的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得=2+（n-1）2=2n，∴S_n =，S_n-1=．
∴a_n =S_n-S_n-1=-=，（n≥2）．
綜上可得 a_n =．

（3）∵，故 ①
∴②
①-②：=，
∴，
再由 恒成立，
∴m≥4，故m的最小值等于4．
分析：（1）把已知條件變形可得 -=2，故是以2為公差、以2為首項(xiàng)的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得=2+（n-1）2=2n，S_n =，S_n-1=．由n≥2時(shí)，a_n =S_n -S_n-1 求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由于 ，用錯(cuò)位相減法求出它的前n項(xiàng)和T_n 的值，再由 恒成立，得m≥4，由此求得m的最小值
點(diǎn)評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，用錯(cuò)位相減法對數(shù)列進(jìn)行求和，數(shù)列的第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，數(shù)列與不等式的綜合，函數(shù)的恒成立問題，屬于難題．