Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）見解析；

（Ⅲ）（﹣1，0）

【解析】

（1）求出函數(shù)在區(qū)間上的極值和端點(diǎn)值，比較后可得最值；（2）根據(jù)的不同取值進(jìn)行分類討論，得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的最小值為，故問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)恒成立，整理得到關(guān)于的不等式，解不等式可得所求范圍．

（1）當(dāng)時(shí)，，

∴．

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，也為最小值，且最小值為．

又，，

∴．

所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為．

（2）由題意得，．

①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

∴在上單調(diào)遞減．

②當(dāng)時(shí)，恒成立，

∴在上單調(diào)遞增．

③當(dāng)時(shí)，，

由得，或（舍去），

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上可得，當(dāng)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．

（3）由（2）可得，當(dāng)時(shí)，，

若不等式恒成立，則只需，

即，

整理得，

解得，

∴，

又，

∴．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．