Question

（2013•合肥二模）過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c＞0），作傾斜角為

π

6

的直線FE交該雙曲線右支于點(diǎn)P，若

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），且

OE

•

EF

=0則雙曲線的離心率為（　�。�

• A．

  10

  5

• B．

  3

  +1
• C．

  10

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：判斷出E為PF的中點(diǎn)，據(jù)雙曲線的特點(diǎn)知原點(diǎn)O為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)；利用中位線的性質(zhì)，求出PF′的長(zhǎng)度及判斷出PF′垂直于PF；通過(guò)勾股定理得到a，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率．

解答：解：在Rt△PFF′中，OE=

1

2

OF=

1

2

c．
∵

OE

=

1

2

（

OF

+

OP

），
∴E為PF的中點(diǎn)，令右焦點(diǎn)為F′，則O為FF′的中點(diǎn)，
則PF′=2OE=c，
∵

OE

•

EF

=0，
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a
∴PF=PF′+2a=2a+c
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²
即（2a+c）²+c²=4c²
⇒所以離心率e=

c

a

=

3

+1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．