Question

下列命題：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈（

π

4

，

π

2

），則f（sin θ）＞f（cos θ）；
②若銳角α，β滿足cos α＞sin β，則α+β＜

π

2

；
③若f（x）=2cos²

x

2

-1，則f（x+π）=f（x）對(duì)x∈R恒成立；
④要得到函數(shù)y=sin(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位，
其中真命題是

 

（把你認(rèn)為所有正確的命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：對(duì)于①，聯(lián)系偶函數(shù)和增函數(shù)得到函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)后再解；
對(duì)于②，cos α＞sin β要化成同名三角函數(shù)；
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，
④函數(shù)y=sin(

x

2

-

π

4

)的系數(shù)

1

2

要引起特別注意．

解答：解：①由已知可得函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，
且由于θ∈（

π

4

，

π

2

）?1＞sinθ＞cosθ＞0，
故有f（sinθ）＜f（cosθ），
故①錯(cuò)；
②由已知角的范圍可得：cosα＞sinβ=cos(

π

2

-β)?α＜

π

2

-β?α+β＜

π

2

，
故②正確；③錯(cuò)，
易知f（x）=cosx，其周期為2π，
故應(yīng)有f（x）=f（x+2π）恒成立，④錯(cuò)，應(yīng)向右平移

π

2

個(gè)單位得到．
故答案為②

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)中的二倍角公式以及三角函數(shù)圖象的變換等．