Question

如下圖，在△OAB中，|OA|=|OB|=4，點(diǎn)P分線段AB所成的比為3：1，以O(shè)A、OB所在直線為漸近線的雙曲線M恰好經(jīng)過點(diǎn)P，且離心率為2．
（1）求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線M交于不同的兩點(diǎn)E、F，且E、F兩點(diǎn)都在以Q（0，-3）為圓心的同一圓上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)曲線M的離心率為2，可設(shè)雙曲線M的方程為，從而可得∠BOx=60°，可求得B（2，2），A（2，），根據(jù)點(diǎn)P分線段AB所成的比為3：1得P（2，），代入雙曲線方程，即可求出雙曲線M的方程；
（2）將執(zhí)行方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得（k²-3）x²+2kmx+m²+9=0
根據(jù)直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線M交于不同的兩點(diǎn)，可得，從而有 
利用E、F兩點(diǎn)都在以Q（0，-3）為圓心的同一圓上，所以NQ⊥EF，從而
由此得，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）因?yàn)榍�線M的離心率為2，所以可設(shè)雙曲線M的方程為
由此可得漸近線的斜率k=
∴∠BOx=60°，
從而B（2，2），A（2，）
又因?yàn)辄c(diǎn)P分線段AB所成的比為3：1
故P（2，），代入雙曲線方程得a²=3，
故雙曲線M的方程為：
（2）如圖所示，由⇒（k²-3）x²+2kmx+m²+9=0
設(shè)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），線段EF的中點(diǎn)為N（x，y），則有
⇒ ①
由韋達(dá)定理得
因?yàn)镋、F兩點(diǎn)都在以Q（0，-3）為圓心的同一圓上，所以NQ⊥EF，
即
∴3k²=4m+9    ②
由①②得
∴m＞4或
點(diǎn)評：本題以雙曲線的幾何性質(zhì)為載體，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，有難度．