Question

（2010•湖北模擬）美國(guó)華爾街的次貸危機(jī)引起的金融風(fēng)暴席卷全球，低迷的市場(chǎng)造成產(chǎn)品銷售越來(lái)越難，為此某廠家舉行大型的促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算該產(chǎn)品的銷售量P萬(wàn)件與促銷費(fèi)用x萬(wàn)元（x≥0）滿足P=3-

2

x+k

（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，該產(chǎn)品的銷售只能是一萬(wàn)件，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入是10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入2萬(wàn)元，產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為該產(chǎn)品的平均成本（不含促銷費(fèi)用）的2倍．
（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x=0時(shí)，P=1萬(wàn)件可求出k的值，然后根據(jù)產(chǎn)品的利潤(rùn)=銷售額-產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；
（2）利用基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件．

解答：解：（1）由題意知x=0時(shí)，P=1萬(wàn)件，
即1=3-

2

k

⇒k=1，∴P=3-

2

x+1

…（2分）
該產(chǎn)品售價(jià)為2×(

10+2P

P

)萬(wàn)元，y=2×(

10+2P

P

)•P-10-2P-x…（4分）
代入化簡(jiǎn)得   y=17-(

4

x+1

+x+1)，（x≥0）…（6分）
（2）y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-2

4 x+1 •(x+1)

=13…（9分）
當(dāng)

4

x+1

=x+1，即x=1時(shí)，上式取等號(hào)                   …（11分）
所以促銷費(fèi)用投入1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．           …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．