Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線交于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，使為定值？若存在，求出這個定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）符合條件的點存在，其坐標為

解析:

（1）設(shè)橢圓的方程為，由已知得 ，，，

橢圓的方程為 ．

（2）法一：假設(shè)存在符合條件的點，又設(shè)，則：

 

①當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，則由，

得，即，

，

，

所以 ，

對于任意的值，為定值，所以，得，

所以；

②當直線的斜率不存在時，直線，由得．

綜上述①②知，符合條件的點存在，起坐標為．

法二：假設(shè)存在符合條件的點，又設(shè)則：

，

=．

①當直線的斜率不為時，設(shè)直線的方程為，由，得，

，

．

設(shè)則

，，．

②當直線的斜率為時，直線，由得：

．

綜上述①②知，符合條件的點存在，其坐標為．