Question

如圖是恩施高中運(yùn)動(dòng)場(chǎng)平面圖，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)總面積15000平方米，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)是由一個(gè)矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個(gè)半圓組成，塑膠跑道寬8米，已知塑膠跑道每平方米造價(jià)為150元，其它部分造價(jià)每平方米80元，
（Ⅰ）設(shè)半圓的半徑OA=r（米），寫出塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系式
S（r）；
（Ⅱ）由于受運(yùn)動(dòng)場(chǎng)兩側(cè)看臺(tái)限制，r的范圍為r∈[30，45]，問當(dāng)r為何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)最低（第2問π取3近似計(jì)算）．

Answer 1

（Ⅰ）根據(jù)題意可得塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系式為：

S(r)=π[r2-(r-8)2]+8×2× 15000-πr2 2r =8πr+ 120000 r -64π(8＜r＜ 15000 π )

（Ⅱ）總造價(jià)y=150S+80（15000-S）
=120000+70S
=120000+560（πr+

15000

r

-8π），
∵π取3近似計(jì)算，
∴y=120000+560（3r+

15000

r

-24），r∈[30，45]，
令t=3r+

15000

r

，則t′=3-

15000

r2

＜0，
∴t=3r+

15000

r

在區(qū)間r∈[30，45]上單調(diào)遞減，
故當(dāng)r=45時(shí)，總造價(jià)最低．