Question

 選修4-1：幾何證明選講

如圖，，分別為的邊，上的點，且不與的頂點重合。已知的長為，，的長是關于的方程的兩個根。

（Ⅰ）證明：，，，四點共圓；

（Ⅱ）若，且，求，，，(23)

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：

（I）連接DE，根據題意在△ADE和△ACB中，

        AD×AB=mn=AE×AC,                     

即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB    

因此∠ADE=∠ACB                                  

 所以C,B,D,E四點共圓。

（Ⅱ）m=4, n=6時，方程xx+mn=0的兩根為x₁=2,x₂=12.

故  AD=2，AB=12.

取CE的中點G,DB的中點F，分別過G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.

由于∠A=90⁰，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= ()=5.

故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5