Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R，a≠0）．
（1）若函數y=f（x）的圖象經過點（0，0），（-1，0），求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）若a=b=1，函數y=f（x）與直線y=2的圖象有兩個不同的交點，求c的值．

Answer 1

（1）把點P（-1，0）代入y=f（x）得-a+b+c=0，又c=0，故a=b
由f’（x）=3ax²+2ax=ax（3x+2）=0得，x₁=0，x₂=-

2

3

，
故當a＞0時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-

2

3

），（0，+∞）
單調遞減區(qū)間是（-

2

3

，0）
當a＜0時，f（x）的單調遞減區(qū)間是（-∞，-

2

3

），（0，+∞）
單調遞增區(qū)間是（-

2

3

，0）（6分）
（2）當a=b=1時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-

2

3

），（0，+∞），
單調遞減區(qū)間是（-

2

3

，0）
故當x=-

2

3

時，f（x）取極大值為f（-

2

3

）=-

8

27

+

4

9

+c，
當x=0時，f（x）的極小值為f（0）=c
要使函數y=f（x）與直線y=2的圖象有兩個不同的交點，則必須滿足-

8

27

+

4

9

+c=2或c=2
故c=

50

27

或2．（6分）