Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)一模）動(dòng)圓C經(jīng)過點(diǎn)F（1，0），并且與直線x=-1相切，若動(dòng)圓C與直線y=x+2

2

+1總有公共點(diǎn)，則圓C的面積（　�。�

A．有最大值8π

B．有最小值2π

C．有最小值3π

D．有最小值4π

Answer 1

分析：由題意可得動(dòng)圓圓心C（a，b）的方程為y²=4x．即b²=4a．由于動(dòng)圓C與直線y=x+2

2

+1總有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系可得圓心C到此直線的距離d≤r=|a+1|=a+1．據(jù)此可得出b或a滿足的條件，進(jìn)而得出圓C的面積的最小值．

解答：解：由題意可得：動(dòng)圓圓心C（a，b）的方程為y²=4x．即b²=4a．
∵動(dòng)圓C與直線y=x+2

2

+1總有公共點(diǎn)，∴圓心C到此直線的距離d≤r=|a+1|=a+1．
∴

|a-b+2 2 +1|

2

≤a+1，
又a=

b2

4

，上式化為|(

b

2

-1)2+2

2

|≤

2

(

b2

4

+1)，化為(

2

-1)b2+4b-4(

2

+1)≥0
解得b≥2或b≤-(6+4

2

)．
當(dāng)b=2時(shí)，a取得最小值1，此時(shí)圓C由最小面積π×（1+1）²=4π．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了拋物線的定義、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、一元二次不等式及其圓的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力和計(jì)算能力．