Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角C₁-AB-C的平面角等于（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

AB

=(0，1，0)，

AC1

=(-1，1，1)，求出設(shè)面ABC₁的法向量

n1

=(1，0，1)，面ABC的法向量

n2

=(0，0，1)，由向量法能求出二面角C₁-AB-C的平面角．

解答：解：如圖，設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
∴

AB

=(0，1，0)，

AC1

=(-1，1，1)，
設(shè)面ABC₁的法向量為

n1

=(x，y，z)，
∵

n1

•

AB

=0，

n1

•

AC1

=0，
∴

y=0 -x+y+z=0

，∴

n1

=(1，0，1)，
∵面ABC的法向量

n2

=(0，0，1)，
設(shè)二面角C₁-AB-C的平面角為θ，
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|
=|

1

2

|=

2

2

，
∴θ=45°，
故選B．

點(diǎn)評：本題考查二面角的平面角及求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．