【題目】已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn),橢圓過點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).
求橢圓和拋物線的方程;
設(shè)點(diǎn)P為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).
設(shè)直線PA,PB的斜率分別為,,求證:為定值;
若直線AB交橢圓于C,D兩點(diǎn),,分別是,的面積,試問:是否有最小值?若有,求出最小值;若沒有,請說明理由.
【答案】(1)為,為.(2)證明見解析;有最小值,最小值.
【解析】
由已知列出方程組,解方程組即可求出橢圓和拋物線的方程;設(shè),過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為,與拋物線方程聯(lián)立可得,由及其根與系數(shù)的關(guān)系即可證明為定值.由題得當(dāng)直線AB的斜率存在時,可證當(dāng)直線AB的斜率不存在時,可得,由此能求出的最小值.
解:設(shè)橢圓和拋物線的方程分別為和,,
中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn),橢圓過點(diǎn),
拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).
,解得,,,
橢圓的方程為,拋物線的方程為.
證明:設(shè),過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為,
由,消去x得,
由得,,即,
.
設(shè),
由得,,則,,
直線BA的方程為,即,
直線AB過定點(diǎn).
以A為切點(diǎn)的切線方程為,即,
同理以B為切點(diǎn)的切線方程為,
兩條切線均過點(diǎn),
,
則切點(diǎn)弦AB的方程為,即直線AB過定點(diǎn)
設(shè)P到直線AB的距離為d,
當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為,
設(shè),,,,
由,得,時恒成立.
.
由,得,恒成立.
.
.
當(dāng)直線AB的斜率不存在時,直線AB的方程為,
此時,,,
.
綜上,有最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面平面,為等邊三角形,,,,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證:平面PAD;
(2)求二面角P﹣BC﹣D的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與y軸垂直.
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,成立,求a的取值范圍
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【題目】甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中任想一個數(shù)字,記為,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字把乙猜的數(shù)字記為,且,若,則稱甲乙“心有靈犀”,現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲,得出他們“心有靈犀”的概率為________
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【題目】如圖,在矩形中,,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且,點(diǎn)是的中點(diǎn),將沿著折起,使點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)處,且滿足.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中任想一個數(shù)字,記為,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字把乙猜的數(shù)字記為,且,若,則稱甲乙“心有靈犀”,現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲,得出他們“心有靈犀”的概率為________
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【題目】已知函數(shù),.
(1)函數(shù)是否有極值?若有,求出極值;若沒有,說明理由.
(2)若對任意,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2-ax)ex(x∈R),a為實(shí)數(shù).
(1)當(dāng)a=0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若f(x)在閉區(qū)間[-1,1]上為減函數(shù),求a的取值范圍.
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【題目】某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,12月1日至12月5日的晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)如下表所示:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差x(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y(顆) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2組數(shù)據(jù)的概率.
(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程.
(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
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