Question

（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C₁：2x²－y²＝1.

(1)過(guò)C₁的左頂點(diǎn)引C₁的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；

(2)設(shè)斜率為1的直線l交C₁于P、Q兩點(diǎn)．若l與圓x²＋y²＝1相切，求證：OP⊥OQ；

 

Answer 1

【答案】

(1) S＝|OA||y|＝.(2)見(jiàn)解析。 

【解析】(1)先把雙曲線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可求出a值，從而得到左頂點(diǎn)A,漸近線方程：y＝±x,然后可設(shè)出過(guò)點(diǎn)A與漸近線y＝x平行的直線方程為y＝，即y＝x＋1.它再與另一條漸近線方程聯(lián)立解方程組可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到所求三角形的高，度顯然等于|OA|，面積得解.

(2) 設(shè)直線PQ的方程是y＝x＋b，因直線PQ與已知圓相切，

故＝1，即b²＝2.

由得x²－2bx－b²－1＝0（*）

設(shè)P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，然后證·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(x₁＋b)(x₂＋b)=2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²,借助（*）式方程中的韋達(dá)定理代入此式證明·＝0即可.

(1)雙曲線C₁：－y²＝1，左頂點(diǎn)A，漸近線方程：y＝±x.

過(guò)點(diǎn)A與漸近線y＝x平行的直線方程為y＝，即y＝x＋1.

解方程組得

所以所求三角形的面積為S＝|OA||y|＝.

(2)設(shè)直線PQ的方程是y＝x＋b，因直線PQ與已知圓相切，

故＝1，即b²＝2.

由得x²－2bx－b²－1＝0.

設(shè)P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，則

又y₁y₂＝(x₁＋b)(x₂＋b)，所以

·＝x₁x₂＋y₁y₂＝2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²

＝2(－1－b²)＋2b²＋b²＝b²－2＝0.

故OP⊥OQ.