Question

（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分、第3小題滿分6分．
已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，
且．
（1）求邊中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）當(dāng)邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的面積；
（3）當(dāng)，且斜邊的長(zhǎng)最大時(shí)，求所在直線的方程．

Answer 1

（1）（2）
（3）

（1）設(shè)所在直線的方程為
由得．                （2分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823140158091249.gif" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，所以．
設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，中點(diǎn)為
則， ，
所以中點(diǎn)軌跡方程為          （4分）
（2），且邊通過(guò)點(diǎn)，故所在直線的方程為．
此時(shí)，由（1）可得，所以  （6分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823140157888235.gif" style="vertical-align:middle;" />邊上的高等于原點(diǎn)到直線的距離，所以      （8分）
．                                      （10分）
（3）由（1）得，，
所以．                         （12分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823140158496241.gif" style="vertical-align:middle;" />的長(zhǎng)等于點(diǎn)到直線的距離，即． （14分）
所以．
所以當(dāng)時(shí)，邊最長(zhǎng)，（這時(shí)）
此時(shí)所在直線的方程為．                         （16分）