直線L的方程為x=-
p
2
，其中p＞0；橢圓E的中心為O′(2+
p
2
，0)，焦點(diǎn)在X軸上，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為A(
p
2
，0)，問(wèn)p在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離．
分析：根據(jù)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離的點(diǎn)的軌跡是以A為焦點(diǎn)的拋物線，并且軌跡方程為y2=2px．利用橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓的方程，又根據(jù)題意可得：拋物線與橢圓相交，進(jìn)而得到相應(yīng)的方程組有實(shí)數(shù)解，從而得出p的取值范圍．
解答：解：因?yàn)闄E圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離相等，
所以由拋物線的定義知：這四個(gè)不同的點(diǎn)在是以A為焦點(diǎn)的拋物線，所以點(diǎn)P的方程為y2=2px．
又根據(jù)題意，橢圓的方程為：（x-2-
p
2
）2+4y2=4，
則聯(lián)立橢圓與拋物線的方程，消去y，
可得：x2-（4-7p）x+2p+
p2
4
=0，此方程必有正實(shí)數(shù)根，
所以△=（4-7p）2-4（2p+
p2
4
）≥0，且4-7p＞0，p＞0，
解得：0＜p＜
1
3
．
故p在（0，
1
3
）范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，并且也考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線l與圓x2+y2=4交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2
2
，則直線l的方程為
x+y-2=0
x+y-2=0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•包頭三模）直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的方程為ρ=4cosθ，直線l的方程為
x=-2+
3
2
t
y=
1
2
t
（t為參數(shù)），直線l與曲線C的公共點(diǎn)為T(mén)．
（1）求點(diǎn)T的極坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)T作直線l'，l'被曲線C截得的線段長(zhǎng)為2，求直線l'的極坐標(biāo)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•江西）如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P （1，
3
2
），離心率e=
1
2
，直線l的方程為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C：（x-1）2+y2=8，過(guò)點(diǎn)A（-1，0），直線l將圓C分成弧長(zhǎng)之比為1：2的兩段圓弧，則直線l的方程為
x-y+1=0或x+y+1=0
x-y+1=0或x+y+1=0
．

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