Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1），給出如下命題：
①函數(shù)f（x）必有最小值；
②若a=0時(shí)，則函數(shù)f（x）的值域是R；
③若a＞0，且f（x）的定義域?yàn)閇2，+∞），則函數(shù)f（x）有反函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-4，+∞）．
其中正確的命題序號(hào)是

 

．（將你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：對(duì)于復(fù)合函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1），通常分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)加以討論，一是：y=lgu；另一個(gè)是：u=x²+ax-a-1；欲求函數(shù)f（x）的最小值、值域、有沒有反函數(shù)及單調(diào)性，只要看u有沒有最小值、值域、有沒有反函數(shù)、單調(diào)性即可，即利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)去研究原函數(shù)的性質(zhì)．

解答：解：令u=x²+ax-a-1=（x+

a

2

）²-

a2

4

-a-1≥-

a2

4

-a-1．
又u＞0，故u沒有最小值，所以①錯(cuò)誤；
當(dāng)a=0時(shí)，u=x²-1∈[-1，+∞），
而（0，+∞）⊆[-1，+∞），所以②正確；
當(dāng)a＞0時(shí)，u=x²+ax-a-1的對(duì)稱軸為x=-

a

2

＜0，[2，+∞）為單調(diào)遞增區(qū)間，
當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）有反函數(shù)，所以③正確；
對(duì)于④應(yīng)有

- a 2 ≤2 22+2a-a-1＞0

?a＞-3，
所以④錯(cuò)誤，綜上所述，只有②③正確．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、反函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．