Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{2}$，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足關(guān)系為a_n=f（a_n-1），（n≥2且n∈N）且a₁=16．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，并求S_n取最大值時(shí)n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)解析式得出即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，n≥2，利用等比數(shù)列定義判斷證明．
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可．
（3）根據(jù)對(duì)數(shù)定義判斷得出b_n=log₂2^5-n=5-n，運(yùn)用等差數(shù)列的n項(xiàng)和公式求解得出S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$=$\frac{n（9-n）}{2}$．再利用函數(shù)性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{2}$，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足關(guān)系為a_n=f（a_n-1），（n≥2且n∈N）且a₁=16．
∴a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2}$，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，n≥2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為16，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
（2）根據(jù){a_n}是首項(xiàng)為16，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
a_n=16×（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^5-n，
（3）∵設(shè)b_n=log₂a_n，
∴b_n=log₂2^5-n=5-n，
可判斷{b_n}為等差數(shù)列．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（4+5-n）}{2}$=$\frac{n（9-n）}{2}$．
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出：n=4或n=5最大值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的定義，性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解，綜合性較強(qiáng)，但是難度不大．