Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．?x_α∈R，f（x_α）=0
B．函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形
C．若x_α是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（-∞，x_α）單調(diào)遞減
D．若x_α是f（x）的極值點(diǎn)，則f^′（x_α）=0

Answer 1

【答案】分析：利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出f^′（x），分△＞0與△≤0討論，列出表格，即可得出．
解答：解：f^′（x）=3x²+2ax+b．
（1）當(dāng)△=4a²-12b＞0時(shí)，f^′（x）=0有兩解，不妨設(shè)為x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：
①x₂是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，但是f（x）在區(qū)間（-∞，x₂）不具有單調(diào)性，故C不正確．
②∵+f（x）=+x³+ax²+bx+c=，
=，
∵+f（x）=，
∴點(diǎn)P為對稱中心，故B正確．
③由表格可知x₁，x₂分別為極值點(diǎn)，則，D正確．
④∵x→-∞時(shí)，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，函數(shù)f（x）必然穿過x軸，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故A正確．
（2）當(dāng)△≤0時(shí)，，故f（x）在R上單調(diào)遞增，①此時(shí)不存在極值點(diǎn)，故D正確，C不正確；
②B同（1）中②正確；
③∵x→-∞時(shí)，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，函數(shù)f（x）必然穿過x軸，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故A正確．
綜上可知：錯誤的結(jié)論是C．
故選C．
點(diǎn)評：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、中心得出的定義、單調(diào)性與極值的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與方法，考查了分類討論的思想方法等基本方法．