Question

設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對(duì)于任何，有．
（1）求，；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)．

Answer 1

(1)  ， ；(2) .

試題分析：（1）令，根據(jù)算得,再根據(jù)是正整數(shù)，算得.
當(dāng)時(shí),同樣根據(jù),將代入，得到的范圍，根據(jù)是正整數(shù)，求得.
(2）先根據(jù)可猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
試題解析：解：（1）據(jù)條件得   ①
當(dāng)時(shí)，由，即有，
解得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043902334315.png" style="vertical-align:middle;" />為正整數(shù)，故．
當(dāng)時(shí)，由，
解得，所以．
（2）方法一：由，，，猜想：．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；
2假設(shè)成立，則，則時(shí)
由①得


因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043903098439.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，，所以．
，所以．
又，所以．
故，即時(shí)，成立．
由1，2知，對(duì)任意，．
（2）方法二：
由，，，猜想：．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；
2假設(shè)成立，則，則時(shí)
由①得
即②
由②左式，得，即，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，
則．于是③
又由②右式，．
則．
因?yàn)閮啥藶檎�整�?shù)，則，
所以．
又因時(shí)，為正整數(shù)，則④
據(jù)③④，即時(shí)，成立．
由1，2知，對(duì)任意，．