Question

函數(shù)f（x）=

1

3

ax3+

1

2

ax2-2ax+2a+1的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限的充要條件是

 

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得f（-2）與f（1）中，一個(gè)是函數(shù)的極大值而另一個(gè)是函數(shù)的極小值．結(jié)合題意可得f（-2）•f（1）＜0，得到關(guān)于a的不等式，解之即可得出實(shí)數(shù)a的范圍，從而得到所求充要條件．

解答：解：∵f（x）=

1

3

ax3+

1

2

ax2-2ax+2a+1，
∴求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=a（x-1）（x+2）．
①a=0時(shí)，f（x）=1，不符合題意；
②若a＜0，則當(dāng)x＜-2或x＞1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-2，1）是為增函數(shù)，在（-∞，-2）、（1，+∞）上為減函數(shù)；
③若a＞0，則當(dāng)x＜-2或x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-2，1）是為減函數(shù)，在（-∞，-2）、（1，+∞）上為增函數(shù)
因此，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，必須有f（-2）•f（1）＜0，
即（

16a

3

+1）（

5a

6

+1）＜0，解之得-

6

5

＜a＜-

3

16

．
故答案為：-

6

5

＜a＜-

3

16

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、函數(shù)的圖象、充要條件的判斷等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．