Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

[tln(x+2)-ln(x-2)]，且f(x)≥f(4)恒成立．
（I）求x為何值時，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（II）設(shè)F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)f(x)=

1

2

[tln(x+2)-ln(x-2)]，且f(x)≥f(4)恒成立，知f（x）的定義域為（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當x=7時，f（x）取得在[3，7]上的最大值．
（II）由F（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，知f′（x）＞0恒成立，所以（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．再由分類討論思想能求出a的取值范圍．

解答：解：（I）∵函數(shù)f(x)=

1

2

[tln(x+2)-ln(x-2)]，且f(x)≥f(4)恒成立，
∴f（x）的定義域為（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，
又∵f′（x）=

1

2

(

t

x+2

-

1

x-2

)，
∴f′(4)=

1

2

(

t

6

-

1

2

)=0，解得t=3．
∴f′(x)=

1

2

(

3

x+2

-

1

x-2

)=

x-4

x2-4

，
∴當2＜x＜4時，f′（x）＜0；當x＞4時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，在（4，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在[3，7]上的最大值在應(yīng)在端點處取得．
∵f（3）-f（7）=

1

2

（3ln5-ln1）-

1

2

（3ln9-ln5）=

1

2

（ln625-ln729）＜0，
∴f（3）＜（7），
故當x=7時，f（x）取得在[3，7]上的最大值．
（II）∵F（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f′（x）＞0恒成立．
又∵F′(x)=

a

x-1

-

x-4

x2-4

=

(a-1)x2+5x-4(a+1)

(x-1)(x2-4)

，
在f（x）的定義域（2，+∞）上，（x-1）（x²-4）＞0恒成立，
∴（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．
下面分類討論（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時，a的解的情況：
當a-1＜0時，不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立；
當a-1=0時，（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-5＞0在（2，+∞）恒成立；
當a-1＞0時，又有兩種情況：
①5²+16（a-1）（a+1）＜0；
②-

5

2(a-1)

＜2，且（a-1）x²+5×2-4（a+1）＞0．
由①得16a²+9＜0，無解；
由②得a＞-

1

4

，∵a-1＞0，∴a＞1．
綜上所述，當a≥1時，（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．
∴a的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的最大值的求法及應(yīng)用，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．