Question

設(shè)函數(shù)f（x）=1nx-

1

4

x²-

1

2

x．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若g（x）=x（f（x）+

1

4

x²+1）當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）在區(qū)間（n，n+1）內(nèi)存在極值，求整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0，求出x，注意舍去負(fù)的，根據(jù)x，f'（x），f（x）的變化情況列表，得到單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）化簡g（x），并求導(dǎo)數(shù)g′（x），令h（x）=lnx-x+2，并求導(dǎo)數(shù)h′（x），判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理得，h（x）在區(qū)間（3，4）上有零點(diǎn)x₀，從而求出整數(shù)n的值．

解答： （Ⅰ）f′(x)=

1

x

-

1

2

x -

1

2

=

-x2-x+2

2x

，(x＞0)
令f'（x）=0，解得x=1（-2舍去），
根據(jù)x，f'（x），f（x）的變化情況列出表格：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	_
f（x）	遞增	極大值- 3 4	遞減

由上表可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞），
在x=1處取得極大值-

3

4

，無極小值；
（Ⅱ）g(x)=x(f(x)+

1

4

x2+1)=xlnx-

1

2

x2+x
g'（x）=lnx+1-x+1=lnx-x+2，
令h（x）=lnx-x+2，∴h′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
∵x＞1，∴h'（x）＜0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)，
∵h(yuǎn)（1）=1＞0，h（2）=ln2＞0，h（3）=ln3-1＞0，h（4）=ln4-2＜0．
∴h（x）在區(qū)間（3，4）上有零點(diǎn)x₀，
且函數(shù)g（x）在區(qū)間（3，x₀）和（x₀，4）上單調(diào)性相反，
∴當(dāng)n=3時(shí)g（x）在區(qū)間（n，n+1）內(nèi)存在極值．∴n=3．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和求極值，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用單調(diào)性解題，考查零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，是一道綜合題．