Question

18．（1）一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于10的概率；
（2）若實(shí)數(shù)a，b滿足a²+b²≤1，求關(guān)于x的方程x²-2x+a+b=0有實(shí)數(shù)根的概率．

Answer 1

分析 （1）先由排列組合求出基本事件總數(shù)，再由列舉法求出取出的球的編號(hào)之和不大于10包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出取出的球的編號(hào)之和不大于10的概率．
（2）由已知得點(diǎn)（a，b）在單位圓內(nèi)，圓面積S=π，a+b≤1，由此利用幾何概型能求出關(guān)于x的方程x²-2x+a+b=0有實(shí)數(shù)根的概率．

解答 解：（1）一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，
基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{3}$=20，
取出的球的編號(hào)之和不大于10包含的基本事件為（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（2，3，4），共5個(gè)，
∴取出的球的編號(hào)之和不大于10的概率p₁=$\frac{m}{n}$=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$．
（2）∵實(shí)數(shù)a，b滿足a²+b²≤1，
∴點(diǎn)（a，b）在單位圓內(nèi)，圓面積S=π，
∵關(guān)于x的方程x²-2x+a+b=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=（-2）²-4（a+b）≥0，
即a+b≤1，表示圖中陰影部分，
其面積S′=π-（$\frac{1}{4}$π-$\frac{1}{2}×1×1$）=$\frac{3π}{4}$+$\frac{1}{2}$，
故所求概率P₂=$\frac{{S}^{'}}{S}$=$\frac{3}{4}+\frac{1}{2π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法和幾何概型在求解概率時(shí)的合理運(yùn)用．