Question

【題目】定義：設(shè)是正整數(shù)，如果對任意正整數(shù)，當時，即有，那么稱數(shù)列的前項可被數(shù)列的第項替換.已知數(shù)列的前項和是，數(shù)列是公比為1的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項公式（用，表示）；

（2）已知，數(shù)列的前項和滿足；

①求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；

②若數(shù)列的前可被數(shù)列的前項替換，且的最大值為8，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析，，②

【解析】

（1）依題意可得，再利用計算可得；

（2）①由，得到，即可得證，還需計算；

②由題意知對一切恒成立，即，令，判斷的單調(diào)性，即可得到的取值范圍.

（1）∵是公差為1的等差數(shù)列且首項為，

∴，

∴，

當時，，也滿足上式，

∴.

（2）①∵ ①

當時， ②

①-②得，

在①式令，得，

∴，

故，

∴為等比數(shù)列，.

②由題意知對一切恒成立，

∴，即，

令，

，

∴單調(diào)遞增，

∴.

另一方面對一切且恒成立，

即，，，

∴.