Question

如圖，平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA₁長(zhǎng)為2，且∠A₁AB＝∠A₁AD＝60°則此平行六面體的體積為________

Answer 1

答案：
解析：

解法一：過(guò)點(diǎn)A1做A1O⊥平面ABCD，垂足為O，過(guò)O做OE⊥AB，OF⊥AD，垂足分別為E、F，連結(jié)A1E，A1F，可知O在∠BAD的平分線AC上． 　　∴cos∠A1AO·cos∠OAF＝·＝＝cos∠A1AF 　　即cos∠A1AO·cos45°＝cos60° 　　∴cos∠A1AO＝ 　　∴sin∠A1AO＝ 　　∴A1O＝A1Asin∠A1AO＝ 　　∴V＝SABCD·A1O＝ 　　解法二：過(guò)B作BE⊥A1A，連結(jié)DE，可知面BDE是其直截面，把斜三棱柱分割成上下兩部分，若把兩部分重新組合，讓面A1D1B1與面ADB重合，則得到一直棱柱，ΔBDE是其底面，DD1是其側(cè)棱，并且和斜三棱柱A1B1D1－ABD的體積相等． 　　取BD中點(diǎn)O，連結(jié)OE，易知 　　SΔBED＝BD·OE＝BD· 　�。�··＝ 　　∴V直棱柱＝SΔDEB·DD1 　　＝×2＝＝ 　　∴＝2＝ 　　解析一：求平行六面體ABCD－A1B1C1D的體積，應(yīng)用公式．由于底面是正方形，所以關(guān)鍵是求高，即到底面ABCD的距離 　　分析二：如圖，平行六面體的對(duì)角面B1D1DB把平行六面體分割成兩個(gè)斜三棱柱，它們等底面積、等高、體積相等，考察其中之一三棱柱A1B1D1－ABD． 　　點(diǎn)評(píng)：在解決體積問題時(shí)，“割”“補(bǔ)”是常用的手段，另外本題分析二給出了求斜棱柱體積的另一方法：斜棱柱的體積＝直截面面積×側(cè)棱長(zhǎng)．