Question

已知{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比q為正數(shù)（q≠1）的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且5S₂=4S₄．
（1）求q的值；
（2）設(shè)b_n=q+S_n，請(qǐng)判斷數(shù)列{b_n}能否為等比數(shù)列，若能，請(qǐng)求出a₁的值，否則請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把等比數(shù)列的求和公式代入且5S₂=4S₄．進(jìn)而求得q．
（2）根據(jù)（1）中求得的q，代入等比數(shù)列求和公式，進(jìn)而得到b_n的通項(xiàng)公式，要使{b_n}為等比數(shù)列，需

1

2

+2a1=0，進(jìn)而求得a₁，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意知5S₂=4S₄
∴

5a1(1-q2)

1-q

=

4a1(1-q4)

1-q

∵a₁≠0，q＞0且q≠1∴（1+q²）=5，
∴得q=

1

2

；
（2）∵Sn=

a1(1-qn)

1-q

=2a1-a1(

1

2

)n-1
∴bn=q+sn=

1

2

+2a1-a1(

1

2

)n-1
要使{b_n}為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

+2a1=0
即a1=-

1

4

，此bn=(

1

2

)n+1為等比數(shù)列，
∴{b_n}能為等比數(shù)列，此時(shí)a1=-

1

4

.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用．等比數(shù)列的公式教為復(fù)雜，應(yīng)加強(qiáng)記憶．