Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極小值；
（2）若直線x+y+m=0對(duì)任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，求a的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-3ax，得f′（x）=3x²-3a，當(dāng)f′（x）＞0，f′（x）＜0時(shí)，分別得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間，由此可以得到極小值為f（1）=-2．
（2）要使直線x+y+m=0對(duì)任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，只需令直線的斜率-1小于f（x）的切線的最小值即可，也就是-1＜-3a．
（3）由已知易得g（x）為[-1，1]上的偶函數(shù)，只需求在[0，1]上的最大值F（a）．有必要對(duì)a進(jìn)行討論：①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，得F（a）=f（1）=1-3a；②當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≤0，且f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，得g（x）=-f（x），則F（a）=-f（1）=3a-1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，得f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]上單調(diào)遞增．當(dāng)f（1）≤0時(shí)，f（x）≤0，所以得g（x）=-f（x），F(xiàn)（a）=-f（

a

）=2a

a

，當(dāng)f（1）＞0，需要g（x）在x=

a

處的極值與f（1）進(jìn)行比較大小，分別求出a的取值范圍，即綜上所述求出F（a）的解析式．

解答：解：（1）∵當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，當(dāng)f′（x）＜0，即x∈（-1，1）時(shí)，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)f′（x）＞0，即x∈（-∞，-1]，或x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）為增函數(shù)．∴f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（-∞，-1]，[1，+∞）上單調(diào)遞增∴f（x）的極小值是f（1）=-2
（2）∵f′（x）=3x²-3a≥-3a，∴要使直線x+y+m=0對(duì)任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，當(dāng)且僅當(dāng)-1＜-3a時(shí)成立，∴a＜

1

3

（3）因g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故只要求在[0，1]上的最大值
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增且f（0）=0，∴g（x）=f（x），F(xiàn)（a）=f（1）=1-3a．
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，
（ⅰ）當(dāng)

a

≥1，即a≥1時(shí)，g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，此時(shí)F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）當(dāng)0＜

a

＜1，即0＜a＜1時(shí)，當(dāng)f′（x）＞0，即x＞

a

或x＜-

a

時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)f′（x）＜0，即-

a

＜x＜

a

時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．所以f(x)在[0，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]單調(diào)遞增．
1°當(dāng)f(1)=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1時(shí)，g(x)=|f(x)|=-f(x)，-f(x)在[0，

a

]上單調(diào)遞增，在[

a

，1]上單調(diào)遞減，F(a)=-f(

a

)=2a

a

；
2°當(dāng)f(1)=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

（�。┊�(dāng)-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤

1

4

時(shí)，F(xiàn)(a)=f(1)=1-3a
（ⅱ）當(dāng)-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

時(shí)，F(xiàn)(a)=-f(

a

)=2a

a

綜上所述F(x)=

1-3a，(a≤ 1 4 ) 2a a ，( 1 4 ＜a＜1) 3a-1，(a≥1)

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，主要考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，尤其第三小題，考查帶有參數(shù)的函數(shù)題型，更是值得推敲，希望在平時(shí)，多加練習(xí)，掌握其要領(lǐng)．