Question

7．在矩形ABCD中，點M在線段BC上，點N在線段CD上．且AB=4．AD=2，MN=$\sqrt{5}$，則$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AN}$的最小值是（　�。�

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 15

Answer 1

分析 先以$\overrightarrow{AB}$所在的直線為x軸，以$\overrightarrow{AD}$所在的直線為x軸，建立坐標系，寫出要用的點的坐標，根據(jù)兩個點的位置得到坐標之間的關系，表示出兩個向量的數(shù)量積，根據(jù)MN=$\sqrt{5}$，再由三角換元，結合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，即要求得數(shù)量積的最小值．

解答 解：以$\overrightarrow{AB}$所在的直線為x軸，以$\overrightarrow{AD}$所在的直線為x軸，
建立坐標系如圖，
∵AB=4，AD=2，
∴A（0，0），B（4，0），C（4，2），
D（0，2），
設M（4，b），N（c，2），
由MN=$\sqrt{5}$，可得（b-2）²+（c-4）²=5，
又$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=2b+4c，
可令b=2+$\sqrt{5}$cosθ，c=4+$\sqrt{5}$sinθ，
即有2b+4c=20+2$\sqrt{5}$cosθ+4$\sqrt{5}$sinθ
=20+10sin（θ+α），
當sin（θ+α）=-1時，取得最小值，且為10．
故選：B．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標運算，考查數(shù)形結合的思想方法，以及三角換元和正弦函數(shù)的值域的運用，屬于中檔題．