Question

在三棱錐A-BCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若AC=BD，求證：四邊形EFGH為菱形；
（Ⅱ）若AB=AD，BC=CD，且O為BD中點(diǎn)，求證：BD⊥平面AOC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用三角形中位線定理能證明四邊形EFGH為菱形．
（Ⅱ）利用等腰三角形性質(zhì)和直線與平面垂直的判定定理能證明BD⊥平面AOC．

解答： （Ⅰ）證明：∵點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EH

∥

.

1

2

BD，F(xiàn)G

∥

.

1

2

BD，EF

∥

.

1

2

AC，HG

∥

.

1

2

AC，
∵AC=BD，∴四邊形EFGH為菱形．
（Ⅱ）證明：∵AB=AD，BC=CD，且O為BD中點(diǎn)，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∵CO∩AO=O，
∴BD⊥平面AOC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四邊形為菱形的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．