Question

已知函數(shù)f（x）滿足條件：
①f（x）＞0②對(duì)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）③x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，則不等式f^-1（x²-4x+3）＞f^-1（3）的解集為（　�。�

A．（-∞，0）∪（4，+∞）

B．（0，4）

C．（0，1）∪（3，4）

D．（-∞，0）∪（3，4）

Answer 1

分析：先根據(jù)條件判定抽象函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，然后根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)圖象的關(guān)系得到函數(shù)f^-1（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)值的大小建立不等式，特別注意反函數(shù)的定義域．

解答：解：設(shè)m＞n，m，n∈R
∵對(duì)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）
∴

f(m)

f(n)

=f（m-n）
∵m-n＞0，x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1
∴0＜

f(m)

f(n)

=f（m-n）＜1
而f（x）＞0則f（m）＜f（n）
∴f（x）在R上單調(diào)遞減
根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可知f^-1（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∵f^-1（x²-4x+3）＞f^-1（3）
∴0＜x²-4x+3＜3解得x∈（0，1）∪（3，4）
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性和原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系解不等式，屬于中檔題．