Question

（本題滿分15分）

設(shè)有半徑為3的圓形村落，、兩人同時(shí)從村落中心出發(fā)。一直向北直行；先向東直行，出村后一段時(shí)間，改變前進(jìn)方向，沿著與村落邊界相切的直線朝所在的方向前進(jìn)。

（1）若在距離中心5的地方改變方向，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，

求：改變方向后前進(jìn)路徑所在直線的方程

（2）設(shè)、兩人速度一定，其速度比為，且后來(lái)恰與相遇.問兩人在何處相遇？

（以村落中心為參照，說(shuō)明方位和距離）

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) A、B相遇點(diǎn)在村落中心正北距離千米處

【解析】本題考查了圓的方程的綜合應(yīng)用，在這個(gè)題中注意解決實(shí)際問題的基本步驟，及題目條件的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，是個(gè)中檔題．

（1）建立如圖坐標(biāo)系：得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求解

（2）先根據(jù)題意，以村落中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，向東的方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩人的速度關(guān)系設(shè)其速度及各點(diǎn)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用圖形中的直角三角形得到5x₀=4y₀，代入直線的斜率公式可得直線的斜率，再利用直線與圓相切即可的直線方程，也就得到了該問題的解．

(1)建立如圖坐標(biāo)系：

(2)由題意可設(shè)A、B兩人速度分別為3v千米/小時(shí) ，v千米/小時(shí)，

再設(shè)A出發(fā)x₀小時(shí)，在點(diǎn)P改變方向，又經(jīng)過y₀小時(shí)，在點(diǎn)Q處與B相遇.

則P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)為（3vx₀, 0），（0,vx₀+vy₀）.

由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，

（3vx₀）²+(vx₀+vy₀)²=(3vy₀)²,

即.

……①

將①代入 

又已知PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個(gè)相遇的位置.

設(shè)直線相切，則有 

答：A、B相遇點(diǎn)在村落中心正北距離千米處