Question

已知函數(shù)f（x）=

kx

|x|+1

，k＞0．
（1）試判斷f（x）的奇偶性，并寫出其單調(diào)增區(qū)間；
（2）若不等式f[log2(4x+16)]+f（t-x）＞0恒成立，求t的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=x恰有一根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可試判斷f（x）的奇偶性，并寫出其單調(diào)增區(qū)間；
（2）將不等式f[log2(4x+16)]+f（t-x）＞0恒成立，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，求t的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=x恰有一根，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)的定義域為R，
∴f（-x）=-

kx

|x|+1

=-f（x），k＞0．
即f（x）是奇函數(shù)，
當(dāng)x=0時，f（0）=0，
當(dāng)x＞0時，f（x）=

kx

x+1

=

k(x+1)-k

x+1

=k-

k

x+1

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，且此時f（x）＞0，
當(dāng)x＜0時，f（x）=

kx

|x|+1

=

kx

-x+1

=

k(x-1)+k

-(x-1)

=-k-

k

x-1

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，且f（x）＜0，
綜上函數(shù)在R上單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（2）∵f[log2(4x+16)]+f（t-x）＞0，
∴f[log2(4x+16)]＞-f（t-x）=f（x-t），
∵函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
∴不等式恒成立等價為[log2(4x+16)＞x-t，
即4^x+16＞2^x-t=2^x•2^-t恒成立，
即2t＞

2x

4x+16

=

1

2x+ 16 2x

恒成立．
∵g（x）=

1

2x+ 16 2x

≤

1

2 2x• 16 2x

=

1

2 16

=

1

8

，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=

16

2x

，即2^x=4，x=2時取等號，
∴2t＞

1

8

=2-3，
∴t＞-3，
即t的取值范圍是t＞-3；
（3）由f（x）=

kx

|x|+1

=x，k＞0．
即x（

k

|x|+1

-1）=0，
若關(guān)于x的方程f（x）=x恰有一根，
則

k

|x|+1

-1≠0，即y=k與y=1+|x|沒有公共點，
即0＜k＜1，即實數(shù)k的取值范圍是0＜k＜1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，以及不等式恒成立問題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．